sábado, 20 de septiembre de 2008

Calculo Vectorial





APLICACIONES DEL CÁLCULO VECTORIAL

Desde el principio de los tiempos la ciencia ha estado ligada en todos los aspectos a la vida del hombre. Entendiendo por ciencia todo lo que ha necesitado de un estudio cuidadoso para demostrar su existencia. Las matemáticas existen desde antes de Cristo en donde cada filosofo exponía su teoría sobre el origen de la vida planteando cuatro elementos fundamentales (aire, agua, tierra y fuego); contrario a esto los pitagóricos defendían su ponencia de que los números eran el principio de todo.

El cálculo actualmente brinda múltiples beneficios a diferentes actividades realizadas por el hombre yá sea en el área administrativa, industrial, ambiental, económica, etc. Por medio de las aplicaciones que tiene el cálculo el hombre ha podido solucionar problemas de diferentes tipos.

Dentro del amplio contenido del cálculo vectorial el hombre ha podido aprovechar temas como:

-Derivadas

-Integrales

-Vectores

-Superficies en el espacio

-Movimientos en el espacio

-Curvatura

-Maximización y minimización

-Aéreas y volúmenes

-Campos vectoriales

-Gradiente

Haciendo énfasis en este último tenemos que:

El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual se aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud física.

En otros contextos se usa informalmente gradiente, para indicar la existencia de gradualidad o variación gradual en determinado aspecto, no necesariamente relacionado con la distribución física de una determinada magnitud o propiedad.

El gradiente de un campo escalar, que sea diferenciable en el entorno de un punto, es un vector definido como el único que permite hallar la derivada direccional en cualquier dirección como:

siendo un vector unitario y la derivada direccional de en la dirección de , que informa de la tasa de variación del campo escalar al desplazarnos según esta dirección:



Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

Interpretación del Gradiente

De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva en el espacio a la cual se le esta estudiando, en un punto cualquiera,llamese ,, etcétera.Algunos ejemplos son:

-Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar, de tal manera que en cualquier punto , la temperatura es . Asumiremos que la temperatura no varía con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa dirección.

-Considere una montaña en la cual su altura en el punto se define como . El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.

Aproximación lineal de una función

El gradiente de una función f definida de Rn a R caracteriza la mejor aproximación lineal de la función en un punto particular x0 en Rn. Se expresa así:

donde es el gradiente evaluado en x0.

Propiedades

El gradiente verifica que:

-Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte.

-Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.

-Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.

-Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla)

-El campo formado el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,

Expresión en diferentes sistemas de coordenadas

A partir de su definición puede hallarse su expresión en diferentes sistemas de coordenadas.

En coordenadas cartesianas, su expresión es simplemente

En un sistema de coordenadas ortogonales, el gradiente requiere los factores de escala, mediante la expresión

Para coordenadas cilíndricas (hρ = hz = 1, ) resulta

y para coordenadas esféricas (hr = 1, hθ = r, )

Gradiente de un campo vectorial

En un espacio euclídeo, el concepto de gradiente también puede extenderse al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de un tensor que da el diferencial del campo al realizar un desplazamiento

Este tensor podrá representarse por una matriz (3x3), que en coordendas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres componentes del campo vectorial.

Ejemplo

Dada la función f(x,y,z) = 2x + 3y2 − sin(z) su vector gradiente es:

Aplicaciones

1) El Gradiente posee innumerables aplicaciones, en física la encontramos el gradiente especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.

Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico

Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como

Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que verifican la ley de fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en un material es proporcional al gradiente de temperaturas

siendo k la conductividad térmica.

2) Hallar la trayectoria de un rastreador térmico

Un rastreador térmico se encuentra en el punto (2,-3) sobre una placa metalica cuya temperatura en (x, y) es

Hallar la trayectoria del rastreador si este se mueve continuamente en dirección de máximo incremento de temperatura.

Solución

La trayectoria esta representada por la función posición

Un vector tangente en cada punto está dado por

Como el rastreador busca el máximo incremento de temperatura, las direcciones son iguales en todo punto de la trayectoria. Así.

Donde k depende de t. Despejando en cada ecuación e igualando los resultados, se obtiene

La solución de esta ecuación diferencial es como el rastreador comienza en el punto (2, -3), se puede determinar que . Por tanto la trayectoria del rastreador del calor es

Y esta determinada por el gradiente d e cada punto. Esta trayectoria es ortogonal a cada una de las curvas de nivel. Ya que la temperatura es constante en cada una de las curvas de nivel.

3) Aplicación en topografía

Si se tiene un mapa topográfico de un cerro y representa la altura sobre el nivel del mar de un punto de coordenadas , entonces se puede trazar una curva de máximo ascenso haciendo que sea perpendicular a todas las curvas de nivel. Los sistemas computacionales de algebra contienen comando que trazan muestras de vectores gradientes. Estas graficas son llamadas campo vectorial gradiente estos vectores gradientes son perpendiculares a las curvas de nivel.

Esto es muy importante en el momento de analizar las características de un terreno ya que por medio del gradiente podemos encontrar la distancia más corta y más conveniente para realizar una construcción. Y de esta forma disminuir los costos de la producción.

GLOSARIO:

-Curva de nivel:

1) Una curva de nivel es aquella línea que une todos los puntos que tienen igualdad de condiciones y de altura o cota; es decir que tienen elevación constante.

2) una curva de nivel es el conjunto de los puntos del dominio f en los que f >toma un valor dado k . En otras palabras, muestra donde la grafica de f tiene una altura k .

BIBLIOGRAFIA:

-Calculo multivariable: STEWART JAMES 4 edición

-Calculo ll: LARSSON ROM

-www.wikipedia.com



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